背包问题是一种经典的动态规划问题，它在计算机科学中被广泛应用。它的基本思想是在给定的一个背包容量下，选择一些物品放入背包，使得放入背包的物品的总价值最大。在本文中，将介绍如何用C语言实现背包问题求解方法，使您轻松掌握背包问题。

一、背包问题的描述

假设有一个背包，它的容量为C，依次有n个物品，重量分别为w1，w2，…，wn，并且相应的价值为v1，v2，…，vn。那么我们的目标就是在不超过背包容量C的前提下，选择一些物品放入背包中，使得它们的总价值最大。

二、问题的解法

1. 贪心算法

贪心算法需要先将物品按照单位重量的价值，从高到低排序。然后依次将价值较高的物品放入背包中，直到放满为止。贪心算法虽然简单，但是并不总是能得到最优解。

2. 动态规划

动态规划方法通常采用一个二维的数组来保存状态。在本题中，数组f[i][j]表示在前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包中所能得到的最大价值。根据“选择”这个关键字， 可以分出两种情况：

① 第i个物品不放入背包中，此时的价值为f[i-1][j]；

② 第i个物品放入背包中，此时的价值为f[i-1][j-w[i]] + v[i]，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。

综合这两种情况，可以得到状态转移方程：

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i])

其中max表示两个数值的较大值。

3. 回溯法

虽然动态规划能够快速求出最优解，但是它并不能直接给出所选的物品。回溯法的优点在于可以找到最优解，并且可以给出所选物品的具体情况。

回溯法的基本思路是从第一个物品开始选择，当加入物品i后，递归调用下一层函数，以选择物品i+1。如果发现当前的价值比之前的最大价值要大，则更新最优解。如果递归至最后一个物品，还未能使总价值大于之前的最优状态，则回溯到前一个状态。

三、C语言实现背包问题

1. 采用动态规划算法，先定义二维数组f[][]和两个一维数组w[]和v[]分别表示物品的重量和价值，然后依照状态转移方程，一层一层地填充数组。

代码如下：

#include

#define N 101

#define M 1001

int f[N][M];

int w[N],v[N];

int Max(int x,int y){

return x > y ? x : y;

}

int main()

{

int n,m;

scanf("%d%d",&n,&m);

for(int i=1;i<=n;++i)

scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);

for(int i=1;i<=n;++i)

for(int j=m;j>=0;--j)

if(j>=w[i])

f[i][j]=Max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);

else

f[i][j]=f[i-1][j];

printf("%d\n",f[n][m]);

return 0;

}

运行结果：

Input:

5 10

2 6

2 3

6 5

5 4

4 6

Output:

15

2. 采用回溯法求解背包问题，需要在定义函数中设置当前状态选或不选两种情况。如果超过最大容量或已经考虑到最后一个物品，则将其对应的价值和重量加到total中，检查是否更新最大价值，然后回溯到上一状态。

代码如下：

#include

#define N 1000

int w[N],v[N];

int n,m;

int max=0;

void backtrack(int i,int tw,int tv) //tw为当前的重量，tv为当前的价值

{

if(i==n+1 || tw > m)

{

if(tv > max) max=tv; //如果当前的价值大于最大价值，则更新最大价值

return ;

}

backtrack(i+1,tw,tv); //选择不放，i+1表示选择下一个物品

if(tw+w[i] <= m) backtrack(i+1,tw+w[i],tv+v[i]); //选择放，更新重量和价值

}

int main()

{

scanf("%d %d",&n,&m); //输入物品数和背包容量

for(int i=1;i<=n;++i)

{

scanf("%d %d",&w[i],&v[i]); //输入物品重量和价值

}

backtrack(1,0,0); //函数调用回溯算法

printf("%d",max);

return 0;

}

运行结果：

Input:

5 10

2 6

2 3

6 5

5 4

4 6

Output:

15

综上，以上就是用C语言实现背包问题求解方法的详细介绍。背包问题作为一个经典的算法问题，不仅涉及算法思想的掌握，还需要具备编程实现的技巧。只有不断练习和实践，才能真正掌握背包问题的解法，更好地应对计算机科学中遇到的实际问题。