对数函数求导，是高等数学和微积分中的一个重要内容，也是考研和高考中的必考知识。虽然对数函数求导的公式已经很简单易懂，但在实际操作中，还是需要掌握一些技巧。本文就围绕这些技巧，结合具体例子进行讲解，希望能够帮助大家更好地掌握对数函数求导技巧。

一、对数函数求导的基本公式

首先，我们需要知道对数函数求导的基本公式。对数函数以e为底，可表示为lnx，对数函数以10为底，可表示为logx。其求导公式分别为：

lnx的导数为1/x；

logx的导数为1/(xln10)。

这两个公式相信大家都已经非常熟悉了，下面我们将结合具体例子，讲解一些应用技巧。

二、对数函数求导的技巧

1. 对数函数分解

在对一些较为复杂的对数函数求导时，我们需要将对数函数化简为简单的式子，从而方便我们进行求导。这个过程也称作对数函数分解。

例如，我们要求y=log(x^2+1)，可以将它分解为y=2log(x^2+1)-log2。这样，我们就可以通过对于log(x^2+1)和log2的求导来求解y的导数了。这种方法在求导复合函数中尤为常用。

2. 对数函数的移项

实际上，在对数函数求导时，可以将含对数函数的式子中的某些项移项，从而得到更加简单的导数形式。

例如，我们要求y=log(x-1)+x，可以先将式子变形为y-x=log(x-1)，再对左侧的函数进行求导，得到(y-x)'/[log(x-1)]'=[1/(x-1)]。那么y'就等于[(x-1)y'-y+1]/(x-1)。

这个方法同样适用于对数函数的高阶导数计算，帮我们简化计算过程。

3. 对数函数的性质

对数函数在微积分中也有一些常用的性质，掌握这些性质也能够帮助我们更好地求解对数函数的导数。

- 对数函数具有单调性：logx单调递增，log₁₀x中，x>1时单调递增，x<1时单调递减。

- 对数函数有乘积规则：log(xy)=logx+logy。

- 对数函数有除法规则：log(x/y)=logx-logy。

- 对数函数有幂次规则：logxⁿ=nlogx。

通过应用这些性质，可以大大缩短我们求导的时间和难度。

三、案例分析

下面，我们将结合一些实际例子，应用上述技巧和公式进行对数函数求导的实战演练。

例1：求y=ln[(x+1)/(x-1)]的导数。

解题思路：

首先，我们可以将式子分解为y=ln(x+1)-ln(x-1)。那么，y'就等于[1/(x+1)-1/(x-1)]。

方法2可以将式子移项，变成y'[ln(x-1)-ln(x+1)]=-2。这样，y'就等于2/[ln(x+1)-ln(x-1)]。

例2：求y=log₉√(16-x²)的导数。

解题思路：

我们可以尝试使用对数函数的乘积规则和移项法。

首先，将式子写成y=1/2log₉(16-x²)，那么y'就等于-1/2(2x/[(16-x²)ln9])=-x/[8(16-x²)ln3]。这是对数函数的导数的基本形式。

另一种方法是，将式子变形为ylog₉3=½log3(16-x²)，然后移项，即得到(y+x/8log₉3)log₉3=nlod3√16-x²。从而，y'=-1/[(16-x²)ln3]。

例3：求y=log(1+x²+x^4)的导数。

解题思路：

因为x^4远小于1+x²，所以可以将式子近似为y=log(1+x²)。

这个式子可以使用对数函数的公式求导：y'=(2x)/(1+x²)。

例4：求y=ln(sin²x+cos²x)的导数。

解题思路：

我们首先可以变形得到y=ln1=0，也就是说，它的导数为y'=0。

但如果我们不假思索地使用ln函数的求导公式，你会发现它的导数为如下式子：

y'=1/(sin²x+cos²x)·(2sinxcosx)=2sinxcosx。

这是因为，当我们使用对数函数的公式求导时，需要注意其中自变量的取值范围。ln函数的自变量必须为正数，但由于sin²x+cos²x恒等于1，所以该式子根本不具备求导的条件。因此，正确答案应当是y'=0。

四、总结

综上所述，对数函数求导虽然其公式很简单，但实际操作时还是需要掌握一些技巧，才能更加高效地进行计算。尤其在复合函数求导时，要善于进行对数函数分解或移项，从而找到求导的基本形式。还要熟记对数函数的性质和相关公式，在实战中更加灵活地应用。

此外，需要提醒的是，对数函数的求导并不是那么不可或缺的知识点，有时候需要先对函数进行变形才能应用该知识点。因此，我们需要具体问题具体分析，才能选用合适的技巧。希望本文的讲解能够帮助大家更好地应对对数函数求导的问题。