三角函数积分公式是解决三角函数不定积分问题的重要工具，是高等数学学习中的一个重点内容。在学习三角函数积分公式时，我们需掌握三角函数的性质和基本公式，在此基础上，在应用三角函数积分公式计算各类三角函数的不定积分时，需善于变形和运用。本文将以“”为标题，详细介绍三角函数积分公式及其应用。

一、三角函数积分公式

三角函数积分公式是解决三角函数不定积分问题的基础工具。现将其列为下表：

\begin{array}{|c|c|} \hline \ \text{函数} & \text{不定积分} \\ \hline \ \sin x &-\cos x + C \\ \ \cos x &\sin x + C \\ \ \tan x &-\ln|\cos x| + C \\ \ \cot x &\ln|\sin x| + C \\ \ \sec x &\ln|\sec x + \tan x| + C \\ \ \csc x &\ln|\csc x - \cot x| + C \\ \hline \end{array}

其中，C为常数。

二、三角函数积分公式的证明

1. 计算 $\int\sin x\mathrm dx$

由定义 $\sin x=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ ，可将 $\int\sin x\mathrm dx$ 写成：

$$ \int\sin x\mathrm dx=\int\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\mathrm dx $$

对右边的式子分别做 $\dfrac{1}{2i}$ 倍，得到：

$$ \begin{aligned} \int\sin x\mathrm dx&=\dfrac{1}{2i}\int e^{ix}\mathrm dx - \dfrac{1}{2i}\int e^{-ix}\mathrm dx \\ &=-\dfrac{1}{2i}\cdot\dfrac{e^{ix}}{i}+\dfrac{1}{2i}\cdot\dfrac{e^{-ix}}{-i} \\ &=-\cos x + C \end{aligned} $$

2. 计算 $\int\cos x\mathrm dx$

同理，由定义 $\cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ ，可将 $\int\cos x\mathrm dx$ 写成：

$$ \int\cos x\mathrm dx=\int\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\mathrm dx $$

对右边的式子分别做 $\dfrac{1}{2}$ 倍，得到：

$$ \begin{aligned} \int\cos x\mathrm dx&=\dfrac{1}{2}\int e^{ix}\mathrm dx + \dfrac{1}{2}\int e^{-ix}\mathrm dx \\ &=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{e^{ix}}{i}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{e^{-ix}}{-i} \\ &=\sin x + C \end{aligned} $$

3. 计算 $\int\tan x\mathrm dx$

由定义 $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ ，可将 $\int\tan x\mathrm dx$ 写成：

$$ \int\tan x\mathrm dx=\int\dfrac{\sin x}{\cos x}\mathrm dx $$

令 $u=\cos x$ ，则 $\mathrm du=-\sin x\mathrm dx$ 。将 $\sin x$ 用 $\cos x$ 表示，得到：

$$ \begin{aligned} \int\tan x\mathrm dx&=-\int\dfrac{-\sin x}{\cos^2x}\mathrm dx \\ &=\int\dfrac{1}{u^2}\mathrm du \\ &=-\dfrac{1}{u}+C \\ &=-\ln|\cos x| + C \end{aligned} $$

4. 计算 $\int\cot x\mathrm dx$

同理，由定义 $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ ，可将 $\int\cot x\mathrm dx$ 写成：

$$ \int\cot x\mathrm dx=\int\dfrac{\cos x}{\sin x}\mathrm dx $$

令 $u=\sin x$ ，则 $\mathrm du=\cos x\mathrm dx$ 。将 $\cos x$ 用 $\sin x$ 表示，得到：

$$ \begin{aligned} \int\cot x\mathrm dx&=\int\dfrac{\cos x}{\sin x}\mathrm dx \\ &=\int\dfrac{1}{u}\mathrm du \\ &=\ln|\sin x| + C \end{aligned} $$

5. 计算 $\int\sec x\mathrm dx$

由定义 $\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$ ，可将 $\int\sec x\mathrm dx$ 写成：

$$ \int\sec x\mathrm dx=\int\dfrac{1}{\cos x}\mathrm dx $$

令 $u=\tan\dfrac{x}{2}$ ，则 $\cos x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$ 且 $\mathrm dx=\dfrac{2}{1+u^2}\mathrm du$ 。将 $\sec x$ 用 $u$ 表示，得到：

$$ \begin{aligned} \int\sec x\mathrm dx&=\int\dfrac{1}{\cos x}\mathrm dx \\ &=\int\dfrac{1+u^2}{1-u^2}\cdot\dfrac{2}{1+u^2}\mathrm du \\ &=\int\dfrac{2}{1-u^2}\mathrm du \\ &=\ln|\sec x+\tan x|+C \end{aligned} $$

6. 计算 $\int\csc x\mathrm dx$

同理，由定义 $\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$ ，可将 $\int\csc x\mathrm dx$ 写成：

$$ \int\csc x\mathrm dx=\int\dfrac{1}{\sin x}\mathrm dx $$

令 $u=\cot\dfrac{x}{2}$ ，则 $\sin x=\dfrac{2u}{1+u^2}$ 且 $\mathrm dx=\dfrac{-2}{1+u^2}\mathrm du$ 。将 $\csc x$ 用 $u$ 表示，得到：

$$ \begin{aligned} \int\csc x\mathrm dx&=\int\dfrac{1}{\sin x}\mathrm dx \\ &=\int\dfrac{1+u^2}{2u}\cdot\dfrac{-2}{1+u^2}\mathrm du \\ &=\int\dfrac{-1}{u}\mathrm du \\ &=\ln|\csc x-\cot x|+C \end{aligned} $$

三、应用三角函数积分公式计算各类三角函数的不定积分

1. 计算 $\int\sin^2x\mathrm dx$

由恒等式 $\sin^2x=1-\cos^2x$ ，可将 $\int\sin^2x\mathrm dx$ 写成：

$$ \begin{aligned} \int\sin^2x\mathrm dx&=\int(1-\cos^2x)\mathrm dx \\ &=\int\mathrm dx-\int\cos^2x\mathrm dx \\ &=x-\dfrac{1}{2}\int(1+\cos 2x)\mathrm dx \\ &=x-\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{1}{2}\sin 2x)+C \\ &=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\sin 2x+C \end{aligned} $$

2. 计算 $\int\cos^2x\mathrm dx$

由恒等式 $\cos^2x=1-\sin^2x$ ，可将 $\int\cos^2x\mathrm dx$ 写成：

$$ \begin{aligned} \int\cos^2x\mathrm dx&=\int(1-\sin^2x)\mathrm dx \\ &=\int\mathrm dx-\int\sin^2x\mathrm dx \\ &=x-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\sin 2x+C \\ &=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\sin 2x+C \end{aligned} $$

3. 计算 $\int\sin^3x\mathrm dx$

令 $u=\cos x$ ，则 $\mathrm du=-\sin x\mathrm dx$ 。将 $\sin x$ 用 $\cos x$ 表示，得到：

$$ \begin{aligned} \int\sin^3x\mathrm dx&=\int\sin^2x\cdot\sin x\mathrm dx \\ &=\int(1-\cos^2x)\sin x\mathrm dx \\ &=\int(1-u^2)\mathrm du \\ &=u-\dfrac{1}{3}u^3+C \\ &=\cos x-\dfrac{1}{3}\cos^3x+C \\ &=\cos x-\dfrac{1}{3}(1-\sin^2x)^{\frac{3}{2}}+C \end{aligned} $$

4. 计算 $\int\cos^3x\mathrm dx$

令 $u=\sin x$ ，则 $\mathrm du=\cos x\mathrm dx$ 。将 $\cos x$ 用 $\sin x$ 表示，得到：

$$ \begin{aligned} \int\cos^3x\mathrm dx&=\int\cos^2x\cdot\cos x\mathrm dx \\ &=\int(1-\sin^2x)\cos x\mathrm dx \\ &=\int\mathrm du-u^3 \\ &=\sin x-\dfrac{1}{3}\sin^3x+C \\ &=\sin x-\dfrac{1}{3}(1-\cos^2x)^{\frac{3}{2}}+C \\ &=\sin x-\dfrac{1}{3}(1-\sin^2x)^{\frac{3}{2}}+C \end{aligned} $$

5. 计算 $\int\dfrac{\mathrm dx}{1+\sin x}$

令 $t=\tan\dfrac{x}{2}$ ，则 $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$ 且 $\mathrm dx=\dfrac{2}{1+t^2}\mathrm dt$ 。将 $\dfrac{1}{1+\sin x}$ 用 $t$ 表示，得到：

$$ \begin{aligned} \int\dfrac{\mathrm dx}{1+\sin x}&=\int\dfrac{2}{(1+t^2)(2+t^2)}\mathrm dt \\ &=\dfrac{1}{2}\int(\dfrac{1}{1+t^2}-\dfrac{1}{2+t^2})\mathrm dt \\ &=\dfrac{1}{2}(\arctan t-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\arctan\dfrac{t}{\sqrt{2}})+C \\ &=\dfrac{1}{2}\arctan(\dfrac{\tan\dfrac{x}{2}}{\sqrt{2}})-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\tan\dfrac{x}{2}+C \end{aligned} $$

4、总结

三角函数积分公式是高等数学学习中不可或缺的一个知识点，对于各类三角函数的不定积分计算具有重要的应用价值。在掌握三角函数的基本公式和性质的基础上，善于变形和运用三角函数积分公式是解决三角函数不定积分问题的关键。学习三角函数积分公式，需要多做练习，深化理解，从而更好地应用它来解决实际问题。