递归函数是计算机编程中常用的一种函数，它可以让程序更加简洁和优美。其实，递归函数就是函数自己调用自己，然后根据一些条件，结束调用或继续递归调用。让我们来看看一些妙趣横生的递归函数例子，看看它们如何让你在代码世界中信手拈来。

　　1. 阶乘函数

　　先来看一个经典的例子：阶乘函数。阶乘函数是数学中经常用到的函数，计算一个正整数n的阶乘的值，就是n的所有正整数相乘。例如：5的阶乘为5×4×3×2×1=120。 我们可以用递归函数来计算阶乘，如下：

　　```python

　　def factorial(n):

　　 if n == 1:

　　 return 1

　　 else:

　　 return n * factorial(n-1)

　　```

　　我们来解析一下这个函数的执行过程。当调用factorial(5)时，它会执行以下步骤：

　　1. 判断n是否等于1，因为n不等于1，所以第一个分支不成立，执行else分支。

　　2. 返回n * factorial(n-1)的值。

　　3. 将n减1得到4，递归调用factorial(4)。

　　4. 判断n是否等于1，因为n不等于1，所以第一个分支不成立，执行else分支。

　　5. 返回n * factorial(n-1)的值。

　　6. 将n减1得到3，递归调用factorial(3)。

　　7. 判断n是否等于1，因为n不等于1，所以第一个分支不成立，执行else分支。

　　8. 返回n * factorial(n-1)的值。

　　9. 将n减1得到2，递归调用factorial(2)。

　　10. 判断n是否等于1，因为n不等于1，所以第一个分支不成立，执行else分支。

　　11. 返回n * factorial(n-1)的值。

　　12. 将n减1得到1，递归调用factorial(1)。

　　13. 判断n是否等于1，因为n等于1，所以第一个分支成立，返回1。

　　14. 得到返回值1，将其乘以n，即5，得到5的阶乘的值120，返回该值。

　　因此，调用factorial(5)最终的返回值为120。这个递归函数的执行过程惊奇富有趣味性，不同于传统的循环计算阶乘，更加优美简洁。

　　2. Fibonacci数列

　　Fibonacci数列是一个很有意思的数列，它是由意大利数学家Fibonacci提出的，是一个无限数列。该数列的前两项为0和1，后续各项都是由前两项之和得到。即：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

　　我们可以用递归函数来生成Fibonacci数列，如下：

　　```python

　　def fibonacci(n):

　　 if n == 0:

　　 return 0

　　 elif n == 1:

　　 return 1

　　 else:

　　 return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

　　```

　　当调用fibonacci(5)时，它会执行以下步骤：

　　1. 判断n是否等于0，因为n不等于0，所以第一个分支不成立。

　　2. 判断n是否等于1，因为n不等于1，所以第二个分支不成立。

　　3. 返回fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)的值。

　　4. 将n减1得到4，递归调用fibonacci(4)。

　　5. 判断n是否等于0，因为n不等于0，所以第一个分支不成立。

　　6. 判断n是否等于1，因为n不等于1，所以第二个分支不成立。

　　7. 返回fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)的值。

　　8. 将n减1得到3，递归调用fibonacci(3)。

　　9. ……

　　10. 判断n是否等于0，因为n等于0，所以第一个分支成立，返回0。

　　11. 判断n是否等于0，因为n等于1，所以第二个分支成立，返回1。

　　12. 得到返回值1和返回值0，将其相加，得到返回值1，返回该值。

　　因此，调用fibonacci(5)最终的返回值为5，即Fibonacci数列中第5个数值。

　　3. 排列组合

　　排列组合是组合数学中的一个重要概念，有时也称为选择问题。对于一个集合，从中选取一些元素排列组合，这样的结果有多少种？我们可以用递归函数来计算排列组合，如下：

　　```python

　　def parmutation(n, k):

　　 if k == 0:

　　 return 1

　　 else:

　　 return n * parmutation(n-1, k-1)

　　def combination(n, k):

　　 if k == 0:

　　 return 1

　　 else:

　　 return combination(n-1, k-1) * n // k

　　```

　　当调用combination(5, 3)时，它会执行以下步骤：

　　1. 判断k是否等于0，因为k不等于0，所以第一个分支不成立。

　　2. 返回combination(n-1, k-1) * n // k的值。

　　3. 将n减1得到4，递归调用combination(4, 2)。

　　4. 判断k是否等于0，因为k不等于0，所以第一个分支不成立。

　　5. 返回combination(n-1, k-1) * n // k的值。

　　6. 将n减1得到3，递归调用combination(3, 1)。

　　7. 判断k是否等于0，因为k不等于0，所以第一个分支不成立。

　　8. 返回combination(n-1, k-1) * n // k的值。

　　9. 将n减1得到2，递归调用combination(2, 0)。

　　10. 判断k是否等于0，因为k等于0，所以第一个分支成立，返回1。

　　11. 得到返回值1，将其乘以n，即5，得到5个元素中选取3个元素的组合数值10，返回该值。

　　因此，调用combination(5, 3)最终的返回值为10。

　　4. 等差数列求和

　　等差数列是一个常见的数列，其一般形式为a(n) = a(1) + (n-1)d，其中a(1)是首项，d是公差。我们可以用递归函数来求等差数列的和，如下：

　　```python

　　def arithmetic_sum(n, a1, d):

　　 if n == 1:

　　 return a1

　　 else:

　　 return a1 + arithmetic_sum(n-1, a1+d, d)

　　```

　　当调用arithmetic_sum(5, 1, 2)时，它会执行以下步骤：

　　1. 判断n是否等于1，因为n不等于1，所以第一个分支不成立。

　　2. 返回a1 + arithmetic_sum(n-1, a1+d, d)的值。

　　3. 将n减1得到4，递归调用arithmetic_sum(4, 3, 2)。

　　4. 判断n是否等于1，因为n不等于1，所以第一个分支不成立。

　　5. 返回a1 + arithmetic_sum(n-1, a1+d, d)的值。

　　6. 将n减1得到3，递归调用arithmetic_sum(3, 5, 2)。

　　7. ……

　　8. 判断n是否等于1，因为n等于1，所以第一个分支成立，返回a1的值，即1。

　　9. 得到返回值1，将其加上各项之和即等差数列1，3，5，7，9的和为25，返回该值。

　　因此，调用arithmetic_sum(5, 1, 2)最终的返回值为25。

　　5. 二分查找

　　二分查找是一种高效的查找算法，也称为折半查找。它的基本思想就是在有序数列中查找某一特定元素，每次通过将待查区域一分为二，依次缩小搜索范围，直到找到目标元素。我们可以用递归函数来实现二分查找算法，如下：

　　```python

　　def binary_search(arr, low, high, target):

　　 if high >= low:

　　 mid = (high + low) // 2

　　 if arr[mid] == target:

　　 return mid

　　 elif arr[mid] > target:

　　 return binary_search(arr, low, mid-1, target)

　　 else:

　　 return binary_search(arr, mid+1, high, target)

　　 else:

　　 return -1

　　```

　　当调用binary_search([2, 3, 4, 7, 10], 0, 4, 7)时，它会执行以下步骤：

　　1. 判断high是否大于等于low，因为high等于4，low等于0，所以第一个分支成立。

　　2. 计算mid的值为2，arr[mid]的值为4，不等于目标元素7，跳过第3个分支。

　　3. 判断arr[mid]是否大于目标元素target，因为arr[mid]小于目标元素7，所以跳过第4个分支。

　　4. 递归调用binary_search(arr, mid+1, high, target)。

　　5. 判断high是否大于等于low，因为high等于4，mid+1等于3，所以第一个分支成立。

　　6. 计算mid的值为3，arr[mid]的值为7，等于目标元素7，返回mid的值3。

　　因此，调用binary_search([2, 3, 4, 7, 10], 0, 4, 7)最终的返回值为3，表示目标元素在有序数列中的位置。

　　递归函数是计算机编程中的一个重要概念，熟练掌握递归函数的运行流程和优点颇具益处。从以上的例子我们可以看出，递归函数能够让程序更加简洁，代码更具可读性。希望读者在今后的程序开发中，能够充分运用递归函数，让自己的代码更加优美、显得更加灵活和高效。