对数函数是数学中常见的一种函数形式，它在实际计算中有广泛的应用。而对数函数公式是对数函数计算中最为基础的知识点之一。学习掌握对数函数公式可以帮助我们轻松解决复杂的问题，下面我们一起来看一看。

　　一、对数函数的基本概念

　　对数函数是指以某个正数为底数的对数函数。其中，底数必须是大于1的正实数。对于一个正实数x，以底数为a的对数函数定义如下：

　　$$log_{a}{x}$$

　　其中，“a”称为底数，“x”称为真数，“$log_{a}{x}$”称为以a为底x的对数，读作“log以a为底x”。

　　根据对数函数的定义，我们可以知道以下等式：

　　$$a^{log_{a}{x}}=x$$

　　$$log_{a}{a}=1$$

　　$$log_{a}{1}=0$$

　　其中，第一个公式用来表示以a为底x的对数可以使用指数$a^{log_{a}{x}}$来表示；第二个公式是以a为底a的对数结果必然为1；第三个公式是以任意正数为底的1的对数值都为0。

　　二、对数函数的性质

　　在学习对数函数公式之前，我们需要学习对数函数的性质，以便更好地理解对数函数的计算方式。

　　1. 对数函数的单调性

　　以2为底的对数函数是一个单调递增函数，因为当x1

　　2. 对数函数的对称性

　　对数函数在直线y=x上对称。

　　3. 对数函数的积

　　以a为底的对数函数的积等于对数函数中对数操作的加法：

　　$$log_{a}{(xcdot y)}=log_{a}{x}+log_{a}{y}$$

　　4. 对数函数的商

　　以a为底的对数函数的商等于对数函数中对数操作的减法：

　　$$log_{a}{(frac{x}{y})}=log_{a}{x}-log_{a}{y}$$

　　5. 对数函数的幂

　　以a为底的对数函数的幂等于对数函数中对数操作的乘法：

　　$$log_{a}{(x^y)}=ycdot log_{a}{x}$$

　　三、对数函数公式的掌握

　　在学习对数函数公式之前，我们需要掌握对数函数中的换底公式：

　　$$log_{a}{b}=frac{log_{c}{b}}{log_{c}{a}}$$

　　其中，“c”可以是任意正数。

　　下面是一些常见的对数函数公式。

　　1. $log_{a}{a^x}=x$

　　这个公式表示的是，以a为底的对数函数中，对数操作的结果为x的时候，真数的值为$a^{x}$。

　　例如，$log_{2}{2^3}=3$，因为在以2为底的对数函数中，$log_{2}{8}=3$，即8是2的三次方。

　　2. $log_{a}{xcdot y}=log_{a}{x}+log_{a}{y}$

　　这个公式表示的是，以a为底的对数函数中，当真数为xy时，对数操作的结果可以拆分为x和y两个部分的对数操作的和。

　　例如，$log_{2}{4cdot 8}=log_{2}{4}+log_{2}{8}=2+3=5$，因为在以2为底的对数函数中，$log_{2}{32}=5$，即32=4×8。

　　3. $log_{a}{frac{x}{y}}=log_{a}{x}-log_{a}{y}$

　　这个公式表示的是，以a为底的对数函数中，当真数为$frac{x}{y}$时，对数操作的结果可以拆分为x和y两个部分的对数操作的差。

　　例如，$log_{2}{frac{16}{4}}=log_{2}{16}-log_{2}{4}=4-2=2$，因为在以2为底的对数函数中，$log_{2}{4}=2$，$log_{2}{16}=4$。

　　4. $log_{a^k}{x}= frac{log_{a}{x}}{k}$

　　这个公式表示的是，以a的k次方为底的对数函数中，当真数为x时，对数操作的结果为$a^{k}$下的对数值，则$a^{k}$可以化简为a的1/k次幂。

　　例如，$log_{2^{3}}{16}=frac{log_{2}{16}}{3}=frac{4}{3}$，因为在以8为底的对数函数中，$log_{8}{16}=2$，即16可以写成$2^{4}$，那么$log_{2^{3}}{16}$就可以化简为$log_{2}{2^{4}}$，即包含8的对数值为4，所以$log_{2^{3}}{16}=frac{4}{3}$。

　　四、应用实例

　　理解和掌握上述对数函数公式之后，我们可以通过一些实例来更好地应用这些公式。

　　1. 求解$log_{4}{256}$的值。

　　根据对数函数中的幂公式，我们可以把256表示为4的若干次幂：

　　$$256=4^{4}$$

　　因此，

　　$$log_{4}{256}=log_{4}{4^{4}}=4$$

　　2. 求解$log_{3}{(27cdot 9)}$的值。

　　根据对数函数中的积公式，我们可以把27和9拆分出来进行计算：

　　$$log_{3}{(27cdot 9)}=log_{3}{27}+log_{3}{9}=3+2=5$$

　　因此，

　　$$log_{3}{(27cdot 9)}=5$$

　　3. 求解$log_{25}{sqrt{5}}$的值。

　　根据对数函数中的幂公式和化简公式，我们可以将底数25拆分成5的平方：

　　$$log_{25}{sqrt{5}}=log_{5^2}{sqrt{5}}=frac{log_{5}{sqrt{5}}}{2}$$

　　$$log_{5}{sqrt{5}}=log_{5}{5^{frac{1}{2}}}=frac{1}{2}$$

　　因此，

　　$$log_{25}{sqrt{5}}=frac{log_{5}{sqrt{5}}}{2}=frac{1}{4}$$

　　结语

　　掌握对数函数公式可以帮助我们在实际计算中，准确快速地求解问题，例如求对数值，拆分复杂式子等。在学习对数函数公式的过程中，我们还需要理解对数函数的性质，例如单调性和对称性，这有助于更好地运用对数函数公式。总之，掌握对数函数公式可以提高我们的数学水平和计算能力，让我们在实际生活和工作中更加得心应手。